本文考虑了生态学和医学中几个经典数学模型的改进和推广,利用微分方程定性理论,分支理论和泛函微分方程理论,研究其动力学行为,如系统的持续生存性,平衡点的稳定性,周期解的存在性和稳定性,并探讨了系统中参数对其动力学行为的影响,为解释、预测和控制生态学和医学中的一些现象提供相应的理论依据.具体地,本文做了以下工作:一、由于传染病传播途径和方式的复杂性,实际中很难准确描述接触率和发生率以及处于疾病潜伏期的人群数量,在文献[112]工作的基础上,我们考虑具有更一般的非线性发生率的SIRS传染病模型,并引进时滞来刻画疾病潜伏期.对此模型进行全参数定性分析,给出疾病传播的关键参数基本再生数的表达式,发现基本再生数小于1时,无病平衡点是全局渐近稳定的,但基本再生数大于1时,其动力学行为依赖于时滞量和非线性发生率中一个参数,当这些参数取某些值时,唯一的有病平衡点在相空间内部全局渐近稳定,而取另一些参数时,唯一的有病平衡点不稳定,出现患病人数的周期震荡现象,并从理论上证明了Hopf分支的存在性,推广了文献[112]的工作.二、我们在文献[57]工作的基础上进一步研究了一类具有时滞的HIV-1感染模型的一致持续生存性和地方病平衡点的全局渐近稳定性,并给出了该模型是一致持续生存的充要条件和地方病平衡点是全局渐近稳定的充分条件,进一步完善了文献[57]中的结果.三、不同阶段的血吸虫的发育时间对血吸虫的传播是非常重要的.我们把终宿主群体和钉螺群体分成两类:易感染者和感染者.同时把不同阶段的血吸虫的发育时间引入到经典的Barbour模型中,考虑了一个更一般的数学模型,即含有四个时滞的四维模型.我们给出了该模型基本再生数的表达式,并利用模型的不变流形将其化为平面系统.当系统不含时滞时,我们给出了平衡点是全局渐近稳定的充分条件.当基本再生数大于1时,我们发现其动力学行为依赖于时滞量,当时滞超过某个临界值时,唯一的地方病平衡点由稳定变为不稳定,产生Hopf分支.四、首先我们讨论了一类具有离散和分布时滞的捕食-食饵模型,给出了正平衡点的渐近稳定性和该模型产生Hopf分支的条件.然后,我们在经典的Lotka-Volterra捕食-食饵模型的基础上将年龄结构引入到捕食种群中且适合Mckendrick-Foerster方程,从而使模型更符合实际.将该模型化为含时滞的系统,我们给出了该系统解的正不变性、有界性并得到了其边界平衡点全局渐近稳定的充分条件.我们发现当时滞逐渐增大到某个临界值时该正平衡点将失去稳定性,产生Hopf分支并给出了具体公式来判断由Hopf分支产生的周期解的稳定性和分支方向.最后,我们讨论了一类更符合实际且具有更一般功能反应函数的非自治捕食-食饵模型,给出了该模型至少存在一个正周期解的充分条件.