在数学上,稳定性是微分方程的一个分支。系统稳定是一切动态系统正常工作的前提。在所有系统中,线性时不变系统的稳定性容易判断。现有的分析线性时不变系统的稳定性方法有根轨迹法、波特图法、奈奎斯特图法等。但是,时变系统的稳定性分析问题是困难的。前述用于研究线性时不变系统稳定性的方法均不可用来分析时变系统的稳定性。时变系统的稳定性不仅由系统的输入和初始状态有关,还与系统的初始时刻相关。由此引发的一致性问题不仅使稳定性的概念更复杂,求解也更困难。时变系统的解析解往往是不可推导的,而实际中采用的数值解法并不能作为理论分析的替代。Lyapunov第二法是现有的用于分析时变系统稳定性的重要方法,即使在系统的解未知的前提下也可以估计系统的稳定性。Lyapunov第二法借助于系统状态构造正定有界的Lyapunov函数,通过研究该函数导数的特征,分析时变系统的稳定性。本文受到Lyapunov第二法核心思想的启发,深入探讨了Lyapunov第二法中存在的不足之处,改进了现有的基于导数不定Lyapunov函数的稳定性理论,并提出了构造严格Krasovskii泛函（Lyapunov函数在时滞系统中的变形）的框架。本文主要内容包括:1.针对连续线性时变系统的稳定性问题,提出了非二次导数不定Lyapunov稳定性理论。本文研究了两类非二次Lyapunov函数——对状态变量的加权L1范数和对状态变量的加权L∞范数（也称为Max范数）的Lyapunov候选函数。建立了线性时变系统稳定、一致稳定、渐近稳定、指数稳定、一致指数稳定的充分条件。所提出的稳定性理论的优点是:（1）.非二次Lyapunov函数不必单调递减,降低了选择Lyapunov函数的难度;（2）.L2范数的Lyapunov函数是比较常用的,但是L1、L2和L∞范数的Lyapunov函数各有各的特点,因此本文的工作可以完善稳定性理论。针对离散时变系统的稳定性问题,提出了导数不定Lyapunov稳定性理论。本文分别介绍了离散线性时变系统和离散非线性时变系统的稳定性判据。并研究了三种特殊的离散时变系统的稳定性——三角型离散线性时变系统、离散线性时变摄动系统和离散非线性时变切换系统。所提出的稳定性理论的优点是:（1）.Lyapunov函数的时间差分不必处处为负值,增大了Lyapunov函数的可选空间;（2）.建立了离散线性时变系统稳定的充要条件;（3）.将指数稳定和一致指数稳定这两个概念进行区分。2.针对连续线性时变时滞系统的稳定性问题,建立了非二次导数不定Krasovskii泛函法和Razumikhin函数法。借助标量稳定函数的一致收敛集合和超调这两个概念,建立了线性时变时滞系统一致指数稳定的充分条件。特别的,针对Razumikhin稳定性判据,本文分别介绍了时滞相关的方法和时滞无关的方法。所提出的稳定性理论的优点是:（1）.降低了经典的Krasovskii泛函法和Razumikhin函数法的保守性;（2）.完善了L2范数稳定性理论。针对离散非线性时变时滞系统的稳定性问题,建立了改善的前型Razumikh-in稳定性理论。借助标量稳定函数的一致收敛集合和超调这两个概念,本文不仅建立了系统一致稳定、一致渐近稳定的充分条件,还通过一个比较引理,进一步研究了系统的一致指数稳定性。所提出的稳定性理论降低了前型Razumikhin稳定性理论的保守性。3.针对带有输入的时变时滞系统,建立了用于分析系统输入状态稳定性的严格Krasovskii泛函构造框架。借助于一致渐近稳定性和一致指数有界性概念,得到了用于构造严格Krasovskii泛函的充分条件。该严格Krasovskii泛函是已知的非严格Krasovskii泛函的线性泛函。研究结果刻画了改进的Krasovskii泛函与严格Krasovskii泛函（即传统的Krasovskii泛函）之间存在的联系。所提出的理论的优点为:（1）.该框架包含一些现有的严格Krasovskii泛函构造方法为特例;（2）.该框架弱化了关于函数上界的假设;（3）.为建立结构更简单的Krasovskii泛函提供了可能。