近年来,随着分数阶微分方程在生物学、材料科学、化学动力学、电磁学、传输(扩散)、自动控制等许多科学领域中的日益广泛的应用,分数阶微分方程的相关理论逐步发展完善,分数阶微分方程的数值解自然也成为了非常重要的研究热点。本文主要讨论几类非线性分数阶微分方程初值问题的几种近似解法,以及分数阶动力系统的特殊形状的混沌吸引子,主要内容和成果包括：第一章主要介绍分数阶微积分、分数阶微分方程及其求解方法的研究背景和现状,并提出本文所要研究的问题。第二章主要介绍分数阶微积分的基本定义和基本性质及几种常用的求解分数阶微分方程初值问题的数值方法。第三章主要利用三次样条配置方法求解非线性分数阶微分方程初值问题,证明了相容性定理,得到了该方法求解与此类问题等价的分数阶积分方程初值问题的收敛性、稳定性结果。通过研究三次样条配置方法直接离散非线性分数阶微分方程初值问题所得到的数值格式与该方法离散与之等价的分数阶积分方程初值问题所得到的数值格式之间的关系,进一步证明了利用三次样条配置方法直接离散非线性分数阶微分方程初值问题所得到的数值格式是收敛和稳定的。还利用若干个数值算例验证了理论结果的正确性和方法的高效性。第四章主要利用三次样条配置方法求解非线性分数阶多阶微分方程初值问题,推广了第三章所得到的结论,得到了相应的相容性、收敛性、稳定性结果,同样通过若干个数值算例验证了理论结果的正确性和方法的高效性。第五章主要利用加入周期函数的方法,得到了一般的分数阶动力系统的平行条状以及矩形状混沌吸引子生成的一般方法,并通过分数阶Rosser系统、分数阶Lorenz系统以及分数阶Chua系统验证了方法的可靠性。第六、七章利用变分迭代方法分别求解了一类一般的分数阶多阶微分方程初值问题及延迟积微分方程(包括多延迟微分方程)初值问题,并得到了相应的收敛性定理,通过若干个数值算例说明了变分迭代方法关于这些问题的有效性。