本文主要研究自伴的有限阶退化椭圆算子的特征值问题,主要内容包括:一类推广的Grushin型退化椭圆算子的Dirichlet特征值估计,有界区域上满足H?rmander条件的有限阶退化椭圆算子的Dirichlet热核性质研究和特征值估计,紧致无边流形上满足H?rmander条件的有限阶退化椭圆算子的热核性质研究和特征值估计,高阶退化椭圆算子的Dirichlet特征值估计.本文一共分五章,具体如下:在第一章,我们先回顾有限阶退化椭圆算子的基本理论知识和一些已知结果,接着介绍经典椭圆算子和退化椭圆算子的特征值问题的背景与研究现状,最后介绍本文的主要结果和一些预备知识.第二章研究了一类推广的Grushin型退化椭圆算子的Dirichlet特征值下界估计.我们通过Fourier变换的方法,运用次椭圆估计并结合投影技巧,得到了推广的Grushin型退化椭圆算子的Dirichlet特征值的下界估计,其第k个Dirichlet特征值有关于k的多项式的下界,且k的阶依赖于向量场在区域上的广义Métivier指标.在第三章,我们研究了有界区域上满足H?rmander条件的一般自伴有限阶退化椭圆算子的特征值问题.我们首先运用带权的Sobolev不等式证明了有限阶退化椭圆算子的Dirichlet热核的存在性和一致上界估计,接着通过退化抛物方程的极值原理得到了退化Dirichlet热核的对角渐近估计,结合前面的一致上界并利用Tauberian公式我们得出了有限阶退化椭圆算子的Dirichlet特征值的下界估计和渐近公式,从而证明对满足H?rmander条件的一般自伴有限阶退化椭圆算子,其第k个Dirichlet特征值有关于k的多项式的下界,且k的阶依赖于向量场在区域上的广义Métivier指标.通过渐近公式,我们证明了在某弱条件下,这一下界的阶(依赖于广义Métivier指标)是最佳的.进一步,我们还得到了满足H?rmander条件的一般自伴有限阶退化椭圆算子的Dirichlet特征值的上界估计,以及在某条件下的最佳下界估计.第四章研究了紧致无边流形上满足H?rmander条件的一般自伴有限阶退化椭圆算子的特征值问题.我们从热半群算子出发,利用次椭圆估计和谱理论证明了紧致无边流形上有限阶退化椭圆算子的热核存在性以及相关性质.接着结合退化热核的Gaussian界估计和Carnot-Carathéodory球的体积估计,我们得到了退化热核的一致上界估计.通过退化热核的一致上界和已知的渐近结果,我们同样得到了有限阶退化椭圆算子的特征值的下界估计和渐近公式,其结论和Dirichlet边界的情形是一致的.在第五章,我们研究了高阶退化椭圆算子的Dirichlet特征值问题.我们从高阶退化椭圆算子的极大次椭圆性出发,得到了相关的次椭圆估计.接着利用Fourier变换的方法得到了前k个特征值和的下界估计.