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本文主要考虑了如下形式的Banach空间E中二阶混合型积分-微分方程的初值问题：u"(t)=f(t，u(t)，u(t)，(Tu)(t)，(Su)(t))，(2.1)u(0)=u0，u(0)=u1。(2.2)其中t∈J=[0，1]，f∈C[J×E×E×E×E，E]，(Tu)(t)=∫0k(t，s)u(s)ds，(Su)(t)=∫10h(t，s)u(s)ds，k∈C[D,R+]，h∈C[J×J，R+]，D={(t，s)∈J×J：t≥s}，k0=maxt∈[0,1]∫t0∫s0k(s，r)drds，h0=maxt∈[0,1]∫t0∫10h(s，r)drds，K(t)=∫t0k(t,s)ds，H(t)=∫10h(t,s)ds。在E中由锥P引进偏序。
下面我们列出主要假设：(H1)存在v0，w0∈C1[J，E]∩C2[J，E]，使得v0(t)≤w0(t)，且v0(t)≤w0(t)，()t∈J。并且v0(t)，w0(t)分别是初值问题(2.1)-(2.2)的下解和上解，即v"0≤f(t，v0，v0，Tv0，Sv0)，()t∈J，v0(0)≤u0，v0(0)≤u1；w"0≥f(t，w0，w0，Tw0，Sw0)，()t∈J，w0(0)≥u0，w0(0)≥u1。(H2)存在常数M≥0，M1＞0，N＞0使得f(t，u，v，w,z)-f(t,(-u)，(-v)，(-w)，(-z))≥-M(u-(u))-M1(v-(-v))-N(w-(-w)，()t∈J，其中v0(t)≤(-u)≤u≤w0(t)，v0(t)≤(-v)≤v≤w0(t)，(Tv0)(t)≤(-w)≤w≤(Tw0)(t)，(Sv0)(t)≤(-z)≤z≤(Sw0)(t)。(H3)存在常数ci≥0，(i=1，2，3，4)，使α(f(J，V1，V2，V3，V4))≤c1α(V1)+c2α(V2)+c3α(V3)+c4α(V4)，其中Vi()E是有界集，i=1,2,3,4，α为E中有界集的Kuratowski非紧性测度。
本文考虑下解小于等于上解的情形，首先证明了一个比较定理，然后利用非紧性条件并借助单调迭代技巧和锥理论得到了初值问题(2.1)-(2.2)的最小解、最大解的存在性。其主要结果如下：
定理3.1设E是实Banach空间，P是正规锥，且条件(H1、H2、H3)满足，假定不等式4(c1+2c2+c3k0+c4h0+2Nk0+2M+M1)＜1，K(t)≤k0(t)e-M1t，NM≤1成立。这里k0(t)∈C[J，R+]，且满足N∫t0k0(s)ds≤M/M1＜1。M=maxt∈[0,1]∫t0k*(t,s)ds，而k*(t,s)=eM1(t-s)(M/N+∫tsk(t,r)dr)。则初值问题(2.1)-(2.2)在[v0，w0]中必具有最小解和最大解(-u)，u*∈C2[J，E]，并且由vn(t)=Fn-1(t)+∞∑i=1(-1)i∫t0Ki(t,s)Fn-1(s)ds，()t∈J；wn(t)=Gn-1(t)+∞∑i=1(-1)i∫t0Ki(t,s)Gn-1(s)ds，()t∈J。其中K1(t,s)=M(t-s)+M1+N∫ts(t-r)k(r，s)dr，Ki(t，s)=∫tsK1(t，r)Ki-1(r，s)dr,()(t，s)∈D，(i=2，3…)，Fn-1(t)=u0+(M1u0+u1)t+∫t0(t-s)(f(s，vn-1(s)，vn-1(s)，(Tvn-1)(s)，(Svn-1)(s))-Mvn-1(s)-N(Tvn-1)(s))-M1vn-1(s)]dsGn-1(t)=u0+(M1u0+u1)t+∫t0[t-s)(f(s，wn-1(s)，wn-1(s)，(Twn-1)(s)，(Swn-1)(s))-Mwn-1(s)-N(Twn-1)(s))-M1wn-1(s)]ds确定的迭代序列{vn(t)}和{wn(t)}在J上分别一致收敛于(-u)(t)和u*(t)，且在J上有v0(t)≤v1(t)≤…≤vn(t)≤…≤(-u)(t)≤…≤u*(t)≤wn(t)≤…≤w1(t)≤w0(t)，()t∈J。
定理3.2设E是实Banach空间，P是正则的，且条件(H1、H2)满足，并且K(t)≤k0(t)e-M1t，NM≤1，成立。这里t0(t)∈C[J,R+],且满足N∫t0k0(s)ds≤M/M1＜1；M=maxt∈[0,1]∫t0k*(t,s)ds，而k*(t,s)=eM1(t-s)(M/N+∫tsk(t，r)dr)。对任何r＞0，集合f(J，Br，Br，Br，Br)有界，这里Br={x∈E：‖x‖≤r}，那么定理3.1的结论仍然成立。