整数自仿的tile和代换序列是分形几何中有趣而重要的课题。本论文研究了在Bandt模型下的整数自仿tile和代换序列的非定向游动的渐近性质。论文的第一部分讨论了Bandt模型下的整数自仿tile。这是整数自仿tile的一个推广。整数自仿的tile铺盖空间是通过平移的方式,而Bandt模型下的不变集铺盖空间时,不仅要有平移,还要有旋转和反射。实际上,Bandt模型提供给我们许多有趣的tile,比如Levy dragon,但是直到现在还鲜有研究。在Bandt,Keyon,Lagarias和Wang工作的基础上,利用遍历理论,我们得到Bandt模型下的不变集tile的Lebesgue测度是个有理数,并且分母是对应的对称群的阶。我们把这个结果应用到著名的Levy dragon上,再利用不相交的邻居关系的技巧,我们得到了Levy dragon的Lebesgue测度是1/4,并讨论了Levy dragon填满空间的方式。论文的第二部分讨论了代换序列的非定向游动的渐近性质。代换序列的初始位置记为原点,碰到a就加一,碰到b就减一。这称为代换序列的无向游动（步长为一）。J.Peyrie′re提出了下面的问题:这种游动的渐近性质如何?即有这种游动是有界的,是趋于无穷的,还是常返的?文志雄和文志英利用极大代数和极小代数的方法完全解决了这个问题,他们处理的情况是步长为一;本文利用他们的方法解决了任意实数步长的无向游动的渐近性质。希望能够解决三个字母的Rauzy序列的无向游动性质,尤其是回归性质。综上,本文的创新点主要有:利用遍历理论,得到Bandt模型下的不变集的Lebesgue测度是个有理数;把不变集的测度和邻居映射结合起来,得到Levy dragon的精确的Lebesgue测度及Levy dragon填满空间的方式。把极大极小代数推广到任意步长的无向游动。