在这篇博士学位论文中,我们主要考虑Dirichlet边值问题的耦合方程组（包括二阶常微分方程组及二阶椭圆型方程组）的正解的存在性。这里,我们所考虑的正解是指其两个分量都是正的,此与人们通常所说的正解（其中一个分量为正的,另一个是非负的）有着明显的区别。为了确保所获得的解的两个分量都是正的,我们提出在乘积锥K1×K2（其中K1,K2（?）X）上来考虑相应的紧连续映射的不动点问题。针对乘积锥上的紧连续映射的不动点指数的计算,我们建立了不动点指数的乘积公式;基于这个公式、不动点指数的基本性质以及不动点指数计算方面的基本结果,我们得到了乘积锥上的若干不动点定理;作为应用,我们分别考虑了“超一次线性”二阶常微分方程组以及准“超一次线性”二阶椭圆型方程组的正解的存在性。 为此,在第二章中,我们给出了拓扑度的基本概念和性质以及拓扑度计算方面的基本结果;在第三章中,运用拓扑度的有关知识,我们建立了乘积空间中各类映射的拓扑度的乘积公式,特别是乘积锥上的紧连续映射的不动点指数的乘积公式,进一步,结合不动点指数的基本性质和不动点指数计算方面的基本结果,得到了乘积锥上的若干不动点定理。 作为具体的应用,在第四章及第五章中,我们分别考虑了“超一次线性”二阶常微分方程组以及准“超一次线性”二阶椭圆型方程组的正解的存在性。通过在乘积锥中选取合适的开集,在所取开集的边界上验证相应的紧连续映射满足必要的边界条件,利用第三章所建立的相关的不动点定理,我们最终获得了这两类微分方程组的正解的存在性。