本文主要研究了正则半群，毕竟正则半群，E-反演半群上的同余.　　 首先，利用P-部分核正规系和P-部分同余对把正则半群上的同余的核正规系以及核-迹方法进行了推广.给出了P-部分同余对的等价刻画，并且证明了正则半群上的同余由其上的P-部分同余对唯一确定.所得结果从方法上推广了Gomes关于正则半群上同余的研究理论.　　 其次，利用“弱逆”思想将核-迹同余对方法推广到毕竟正则半群上，利用核-迹同余对的方法给出了毕竟正则半群上矩形群同余的刻画；给出了毕竟正则半群上以正规同余为迹的最大逆半群同余(矩形群同余，正则同余)的刻画；还给出了毕竟正则半群上的P-部分核正规系的等价刻画，并证明了毕竟正则半群上的正则同余由其上的P-部分核正规系唯一确定.　　 最后，利用自共轭的闭全子半群给出了E-反演半群上群同余的刻画，证明了E-反演半群上群同余和其上的自共轭的闭全子半群之间存在一一对应关系.同样地，利用P-部分核正规系和P-部分同余对研究了E-反演半群上的正则同余，证明了E-反演半群上的正则同余由其P-部分核正规系和P-部分同余对唯一确定，并给出了P-部分核正规系和P-部分同余对的抽象的刻画.