论文部分内容阅读
关于square-free模的研究可以追溯到学者们对autommorphhismm-inuariant模的研究,这些模在其内射包的自同构下是不变的.近几年,autommorphhismm-inuariant模及其推广得到了越来越多的代数学家以及学者们的关注和研究.2013年,Singh和Srivastava研究了autommorphismm—inuariant模的结构.:若令M是autommorphismm—inuariant模,则 M有分解M=A(?)B,其中A是拟内射的,B是square—free的.2015年,Mazurek和Nielsen讨论了比square—free模更一般的summand—square—free模.2017年,Tuituincui和Kikumasa继续深入讨论了 dual—square—free模.在这些基础上,本文主要讨论了以下条件的模M:对M的直和项NN,若模M的商模同构于NN2=N(?)N,则NN=0.我们称这样的模M为summand-square-free模的对偶模(简称为DSSF模).全文共分为三个章节.第一章是引言部分,主要介绍了课题的研究背景和发展状况,以及本文的研究思路.第二章主要讨论summand-squarre-free模的对偶模M的性质.注意到DSSF模的商模不一定是DSSF的.在对DSSF模的性质进行探讨的过程中,我们得到某些条件下DSSF模M的等价刻画:在模M满足(D2)条件下,M没有真的直和项A和B,使得M=A+B和M/A(?)M/B当且仅当模M是DSSF模,并给出了几个DSSF模的例子.然后我们证明了DSS 模是Morita不变的,并指出若RR是交换环,则DSSF环不是Morita不变的.一般情况下,环RR作为右RR-模是square-free的,但不一定作为左R-模也是square-free的.接着我们证明了对半局部环而言,任意右DSSF环是左DSSF的.M是一个supplemmented DSSF模,若M是dual autommorphism—inuariant的,那么模M满足(C3)性.最后证明了M=H1(?)H2(?)…(?)Hn,其中H1,H2,…,Hn是hollow模,如果M是DSS 模,则M是H—Supplemented的.第三章中主要讨论了使得DSSF模在其子模或本质扩张下是闭的环.我们发现这样的环与半完全环有着密切的关系.我们证明了右DSSF半完全环的任意极大单边理想是双边的.但一般地,一个右DSSF半完全环的单边理想不一定是双边的(见推论3.8).因为右完全环上的任意非零模都有极大子模,结合引理3.6得到结论:右完全环上的DSSF模是循环的.接着我们证明了令RR是右完全环,如果E(RR)是DSSF的,则E(RR)=RR·最后证明了两个重要的定理:定理3.10 令RR是右(左)完全环,且e1,e2,...,en是的本原幂等元的基本集,则下列条件是等价的:(a)RR的任意右理想是DSSF的;(b)RR是基本环且任意DSSF的R-模的子模仍是DSSF的;(c)(1)RR有环分解R=∏in=1 eiR,其中eiR=eiRei是右Artin右单列的(2)对任意 i ∈ {1,2,.…,n},有eiR/eiJ(?)=eiJ/eiJ2(?)…(?)eiJki-1/eiJki(?)eiJki-1=Soc(eiR).其中ki是自然数且eiJk1 ≠ 0,eiJki=0定理3.13 令RR是右完全环,且e1,e2,…,en是RR的本原幂等元的一组基本集,则下列条件是等价的:(а)RRR的商模的内射包是DS的;(b)RR是基本环且任意DSSF模的本质扩张仍是DSSF的(c)RR是基本单列的QF-环,对任意i∈ {1,2,…,n},有eiR/eiJ(?)eiJ=eiJ/eiJ2(?)…(?)eiJki-1/eiJki(?)Soc(eiiR)其中ki是自然数且eiJk1 ≠ 0,eiJki=0.